ACM-放苹果

问题描述

        把 M 个同样的苹果放在 N 个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？（用 K 表示）注意： 5， 1， 1 和 1， 5， 1 是同一种分法。

输入数据

       第一行是测试数据的数目 t（ 0 <= t <= 20）。以下每行均包含两个整数 M 和 N，以空格分开。 1<=M， N<=10。

输出要求

       对输入的每组数据 M 和 N，用一行输出相应的 K。

输入样例

1 7 3

输出样例

8

解题思路

        所有不同的摆放方法可以分为两类：至少有一个盘子空着和所有盘子都不空。我们可以分别计算这两类摆放方法的数目，然后把它们加起来。对于至少空着一个盘子的情况，则 N 个盘子摆放 M 个苹果的摆放方法数目与 N-1 个盘子摆放 M 个苹果的摆放方法数目相同。对于所有盘子都不空的情况，则 N 个盘子摆放 M 个苹果的摆放方法数目等于 N 个盘子摆放 M-N 个苹果的摆放方法数目。我们可以据此来用递归的方法求解这个问题。         设 f(m, n) 为 m 个苹果， n 个盘子的放法数目，则先对 n 作讨论，如果 n>m，必定有 n-m 个盘子永远空着，去掉它们对摆放苹果方法数目不产生影响；即 if(n>m) f(m,n) = f(m,m)。当 n <= m 时，不同的放法可以分成两类：即有至少一个盘子空着或者所有盘子都有苹果，前一种情况相当于 f(m , n) = f(m , n-1); 后一种情况可以从每个盘子中拿掉一个苹果，不影响不同放法的数目，即 f(m , n) = f(m-n , n)。总的放苹果的放法数目等于两者的和，即 f(m,n) =f(m,n-1)+f(m-n,n) 。

参考程序

#include <iostream> using namespace std; int count(int m,int n){ if(n == 1 || m == 0) return 1; if(n > m) return count(m,m); return count(m,n-1) + count(m-n,n); } int main() { int t,m,n; cin >> t; while(t--){ cin >> m >> n; cout<<count(m,n)<<endl; } return 0; }         出口条件说明：当 n=１时，所有苹果都必须放在一个盘子里，所以返回１；当没有苹果可放时，定义为１种放法；递归的两条路，第一条 n 会逐渐减少，终会到达出口 n==1; 第二条 m 会逐渐减少，因为 n>m 时，我们会 return f(m , m) 所以终会到达出口 m==0．