一。哈希函数和哈希冲突的基本概念

1.哈希函数：

  哈希法又称散列法、杂凑法以及关键字地址计算法等，相应的表成为哈希表。   基本思想： 首先在元素的关键字K和元素的位置P之间建立一个对应关系f，使得P=f(K),其中f成为哈希函数。   创建哈希表时，把关键字K的元素直接存入地址为f(K)的单元；查找关键字K的元素时利用哈希函数计算出该元素的存储位置P=f(K).   创建哈希表时，把关键字K的元素直接存入地址为f(K)的单元；查找关键字K的元素时利用哈希函数计算出该元素的存储位置P=f(K).

2.哈希冲突：

  当关键字集合很大时，关键字值不同的元素可能会映像到哈希表的同一地址上，即K1!=K2，但f(K1)=f(K2),这种现象称为hash冲突，实际中冲突是   不可避免的，只能通过改进哈希函数的性能来减少冲突。   

二。哈希函数的构造方法  

   哈希函数的构造原则是：函数本身便于计算、计算出来的地址分布均匀（即对任意K，f(K)对应不同地址的概率相等）。

  1.数字分析法：

    可以从关键如果事先知道关键字集合，并且每个关键字的位数比哈希表的地址码位数多时，可以从关键字中选出分布较均匀的若干位，构成哈希地址。     例如，有80个记录，关键字为8位十进制整数d1d2d3…d7d8，如哈希表长取100，则哈希表的地址空间为：00~99。     假设经过分析，各关键字中 d4和d7的取值分布较均匀，则哈希函数为：h(key)=h(d1d2d3…d7d8)=d4d7。例如，h(81346532)=43，h(81301367)=06。     相反，假设经过分析，各关键字中 d1和d8的取值分布极不均匀， d1 都等于5，d8 都等于2，此时，如果哈希函数为：h(key)=h(d1d2d3…d7d8)=d1d8，     则所有关键字的地址码都是52，显然不可取。

  2.平方取中法：

    当无法确定关键字中哪几位分布较均匀时，可以先求出关键字的平方值，然后按需要取平方值的中间几位作为哈希地址。     这是因为：平方后中间几位和关键字中每一位都相关，故不同关键字会以较高的概率产生不同的哈希地址。

    例：我们把英文字母在字母表中的位置序号作为该英文字母的内部编码。例如K的内部编码为11，E的内部编码为05，Y的内部编码为25，

            A的内部编码为01, B的内部编码为02。

   由此组成关键字“KEYA”的内部代码为11052501，同理我们可以得到关键字“KYAB”、“AKEY”、“BKEY”的内部编码。

            之后对关键字进行平方运算后，取出第7到第9位作为该关键字哈希地址，如图8.23所示。

  关键字    内部编码     内部编码的平方值          H(k)关键字的哈希地址 KEYA     11050201      122157778355001            778 KYAB     11250102      126564795010404            795 AKEY     01110525      001233265775625            265

BKEY     02110525      004454315775625            315

  3.分段叠加法：

        这种方法是按哈希表地址位数将关键字分成位数相等的几部分（最后一部分可以较短），然后将这几部分相加，舍弃最高进位后的结果就是该关键字的哈希地址。         具体方法有折叠法与移位法。移位法是将分割后的每部分低位对齐相加，折叠法是从一端向另一端沿分割界来回折叠（奇数段为正序，偶数段为倒序），然后将各段相加。           例如：key=12360324711202065,哈希表长度为1000，则应把关键字分成4位一段，在此舍去最低的两位65，分别进行移位叠加和折叠叠加，求得哈希地址为105和907      （a）移位叠加              (b) 折叠叠加        1   2   3                    1   2   3        6   0   3                    3   0   6        2   4   7                    2   4   7        1   1   2                    2   1   1        0   2   0                    0   2   0 ——————               ——————   1   1   0   5                    9   0   7  

   4.除留余数法：

     假设哈希表长为m，p为小于等于m的最大素数，则哈希函数为  h（k）=k  %  p ，其中%为模p取余运算。 例如，已知待散列元素为（18，75，60，43，54，90，46），表长m=10，p=7，则有 h(18)=18 % 7=4    h(75)=75 % 7=5    h(60)=60 % 7=4    h(43)=43 % 7=1    h(54)=54 % 7=5    h(90)=90 % 7=6    h(46)=46 % 7=4 此时冲突较多。为减少冲突，可取较大的m值和p值，如m=p=13，结果如下： h(18)=18 % 13=5    h(75)=75 % 13=10    h(60)=60 % 13=8     h(43)=43 % 13=4    h(54)=54 % 13=2    h(90)=90 % 13=12    h(46)=46 % 13=7

三。处理冲突的方法：

   1.开放定址法(再散列法)：

     基本思想：当关键字key的哈希地址p=H（key）出现冲突时，以p为基础，产生另一个哈希地址p1，如果p1仍然冲突，再以p为基础，产生另一个哈希地址p2，…，                            直到找出一个不冲突的哈希地址pi ，将相应元素存入其中。      这种方法有一个通用的再散列函数形式：                Hi=（H（key）+di）% m   i=1，2，…，n      其中H（key）为哈希函数，m 为表长，di称为增量序列。增量序列的取值方式不同，相应的再散列方式也不同。 

     1.线性探测再散列： 

  dii=1，2，3，…，m-1   冲突发生时，顺序查看表中下一单元，直到找出一个空单元或查遍全表。

     2.二次探测再散列：

  di=12，-12，22，-22，…，k2，-k2    ( k<=m/2 )   冲突发生时，在表的左右进行跳跃式探测，比较灵活。

     3.伪随机探测再散列：

  di=伪随机数序列。   具体实现时，应建立一个伪随机数发生器，（如i=(i+p) % m），并给定一个随机数做起点。   

     4.  示例：

          已知哈希表长度m=11，哈希函数为：H（key）= key  %  11，则H（47）=3，H（26）=4，H（60）=5，假设下一个关键字为69，则H（69）=3，与47冲突。

  a): 如果用线性探测再散列处理冲突，下一个哈希地址为H1=（3 + 1）% 11 = 4，仍然冲突，再找下一个哈希地址为H2=（3 + 2）% 11 = 5，还是冲突，

               继续找下一个哈希地址为H3=（3 + 3）% 11 = 6，此时不再冲突，将69填入5号单元。

    0     1     2     3     4     5     6     7     8     9     10                         47   26   60   69

  b): 如果用二次探测再散列处理冲突，下一个哈希地址为H1=（3 + 12）% 11 = 4，仍然冲突，再找下一个哈希地址为H2=（3 - 12）% 11 = 2，此时不再冲突，

               将69填入2号单元。

     0     1     2     3     4     5     6     7     8     9     10                   69   47   26  60      

  c): 如果用伪随机探测再散列处理冲突，且伪随机数序列为：2，5，9，……..，则下一个哈希地址为H1=（3 + 2）% 11 = 5，仍然冲突，再找下一个哈希地址

               为H2=（3 + 5）% 11 = 8，此时不再冲突，将69填入8号单元。

     0     1     2     3     4     5     6     7     8     9     10                          47   26  60                  69

   2.再哈希法：

         这种方法是同时构造多个不同的哈希函数：                    Hi=RH1（key）  i=1，2，…，k          当哈希地址Hi=RH1（key）发生冲突时，再计算Hi=RH2（key）……，直到冲突不再产生。这种方法不易产生聚集，但增加了计算时间。

   3.拉链法(HashMap的冲突处理方式):

          基本思想: 将所有哈希地址为i的元素构成一个称为同义词链的单链表，并将单链表的头指针存在哈希表的第i个单元中，因而查找、插入和删除主要

                            在同义词链中进行。链地址法适用于经常进行插入和删除的情况。

         例如:  已知一组关键字（32，40，36，53，16，46，71，27，42，24，49，64），哈希表长度为13，哈希函数为：H（key）= key % 13，

                     则用链地址法处理冲突的结果如图8.27所示：

       位置    Entry          0         1  -->  40 --> 27 --> 53         2         3  -->  16 --> 42         4         5         6  -->  32 --> 71

        7         8         9         10 -->  36 --> 49         11 -->  24         12 -->  64                          本例的平均查找长度 ASL=(1*7+2*4+3*1)/13=1.38

   4.建立公共溢出区：

          这种方法的基本思想是：将哈希表分为基本表和溢出表两部分，凡是和基本表发生冲突的元素，一律填入溢出表