什么是拟牛顿法？

拟牛顿法是在牛顿法的基础上引入了Hessian矩阵的近似矩阵，避免每次迭代都计算Hessian矩阵的逆，它的收敛速度介于梯度下降法和牛顿法之间。拟牛顿法跟牛顿法一样，也是不能处理太大规模的数据，因为计算量和存储空间会开销很多。 拟牛顿法虽然每次迭代不像牛顿法那样保证是最优化的方向，但是近似矩阵始终是正定的，因此算法始终是朝着最优化的方向在搜索。具有全局收敛性和超线性收敛速度

BFGS公式推导

BFGS(Broyden，Fletcher，Goldfarb，Shanno四个人)算法是使用较多的一种拟牛顿方法，故称为BFGS校正。

将 x 写成x=(x1,x2,…,xn)。对函数 f(x) 在 x=xk+1 处进行泰勒展开到二阶：

f(x)=f(xk+1)+f′(xk+1)(x−xk+1)+12f′′(xk+1)(x−xk+1)2+Rn(x)≈f(xk+1)+f′(xk+1)(x−xk+1)+12f′′(xk+1)(x−xk+1)2 对上式求导并令其为0，由于 f(x) 中的 x 是一个向量，f(x)对 x 求导意味着对x向量中的每个值求偏导。即， f(x) 对 x 的一阶导数为一个向量，对x的二阶导数为一个 n∗n 的矩阵 f′(x)=(∂f(x)∂x1，∂f(x)∂x2,…,∂f(x)∂xn)f′′(x)=[∂2f(x)∂xi∂xj]n∗n 求导后得: f′(x)=f′(xk+1)+f′′(xk+1)(x−xk+1) 即： ∇f(xk)=∇f(xk+1)+Gk+1(xk−xk+1) 可以化简为: ∇f(xk+1)−∇f(xk)=Gk+1(xk−xk+1) 令 Bk+1≜Gk+1 ,则可得: Bk+1(xk−xk+1)=∇f(xk+1)−∇f(xk) 在BFGS校正方法中，假设： Bk+1=Bk+Ek

BFGS校正公式的推导

令 Ek=αukuTk+βvkvTk ，其中 uk,vk 均为 n∗1 的向量。 yk=∇f(xk+1)−∇f(xk),sk=xk+1−xk .

那么 Bk+1(xk−xk+1)=∇f(xk+1)−∇f(xk) 可以化简为：

Bk+1sk=yk 将 Bk+1=Bk+Ek 代入上式得： (Bk+Ek)sk=yk 将 Ek=αukuTk+βvkvTk 代入上式得： (Bk+αukuTk+βvkvTk)sk=yk

即：

αuk(uTksk)+βvk(vTksk)=yk−Bksk

uTksk,vTksk 皆为实数， yk−Bksk 为 n∗1 的向量，上式中，参数 α 和 β 解的可能性有很多，我们取特殊的情况，假设 uk=rBksk,vk=θyk 。则:

Ek=αrBksTkBk+βθykyTk 代入上式： ⇒α[(rBksk)Tsk](rBksk)+β[(θyk)Tsk](θyk)=yk−Bksk⇒[αr2(sTkBksk)+1](Bksk)+[βθ2(yTksk)−1](yk)=0 令 ⇒[αr2(sTkBksk)+1](Bksk)=0,βθ2(yTksk)−1=0 ,则： αr2=−1sTkBkskβθ2=1yTksk 最终的BFGS校正公式为： Bk+1=Bk−BksksTkBksTkBksk+ykyTkyTksk

BFGS校正的算法流程

设 Bk 对称正定， Bk+1 由上述的BFGS校正公式确定，那么 Bk+1 对称正定的充要条件是 yTksk>0 。

非精确的一维搜索（线搜索）准则：Armijo搜索准则，搜索准则的目的是为了帮助我们确定学习率，还有其他的一些准则，如Wolfe准则以及精确线搜索等。在利用Armijo搜索准则时并不是都满足上述的充要条件，此时可以对BFGS校正公式做些许改变：

Bk+1=⎧⎩⎨Bk,Bk−BksksTkBksTkBksk+ykyTkyTksk,ifyTksk≤0ifyTksk>0

注：在李航写的那本《统计学习方法》中说是正定的，但是并没有说上述情况下会怎么样

算法

给定参数 δ∈(0,1),σ∈(0,0.5) ，初始化点 x0∈Rn ，终止误差 0≤ϵ≪1 ,初始化对称正定阵 B0 ，通常取为 G(xo) 或单位阵 In ;令 k=0 。计算 gk=∇f(xk) ，若 ∥gk∥≪ϵ ,终止，输出 xk 作为近似极小点。解线性方程组得解 dk : Bkd=−gk .设 mk 是满足下列不等式的最小非负整数m: f(xk+δmdk)≤f(xk)+σδmgTkdk 令 αk=δmk,xk+1=xk+αkdk .由BFGS校正公式确定 Bk+1 令 k=k+1 ，转向步骤“2”

求解具体优化问题

求解无约束优化问题:

minf(s)=100(x21−x2)2+(x1−1)2,x=(x1,x2)T∈R2

#coding:UTF-8 ''' Created on 2017年4月20日 @author: zhangdapeng ''' from numpy import * import matplotlib.pyplot as plt from numpy.matrixlib.defmatrix import mat #fun 原始函数 def fun(x): return 100 * (x[0,0] ** 2 - x[1,0]) ** 2 + (x[0,0] - 1) ** 2 #对x1，x2求导后的函数 def gfun(x): result = zeros((2, 1)) # 对x1求导 result[0, 0] = 400 * x[0,0] * (x[0,0] ** 2 - x[1,0]) + 2 * (x[0,0] - 1) result[1, 0] = -200 * (x[0,0] ** 2 - x[1,0]) #对x2求导 return result def bfgs(fun, gfun, x0): result = [] maxk = 500 delta = 0.55 sigma = 0.4 m = shape(x0)[0] Bk = eye(m) k = 0 epsilon=1e-10 while (k < maxk): gk = mat(gfun(x0))#计算梯度 ，mat函数将数组转化为矩阵。 # print(gk) # print(linalg.norm(gk,1)) #axis=0,沿着纵轴方向 if linalg.norm(gk,1)<epsilon: break dk = mat(-linalg.solve(Bk, gk)) #解矩阵方程Bk*x=gk得到x m = 0 mk = 0 while (m < 20): newf = fun(x0 + delta ** m * dk) oldf = fun(x0) if (newf < oldf + sigma * (delta ** m) * (gk.T * dk)[0,0]): mk = m break m = m + 1 #BFGS校正 x = x0 + delta ** mk * dk sk = x - x0 yk = gfun(x) - gk # print(math.isnan(yk.T * sk)) if (yk.T * sk > 0): Bk = Bk - (Bk * sk * sk.T * Bk) / (sk.T * Bk * sk) + (yk * yk.T) / (yk.T * sk) k = k + 1 x0 = x result.append(fun(x0)) return result #初始化x0 x0 = mat([[-1.2], [1]]) result = bfgs(fun, gfun, x0) print("result:",result[-1]) n = len(result) ax = plt.figure().add_subplot(111) x = arange(0, n, 1) y = result ax.plot(x,y) plt.show()

输出：

result: 2.68262011582e-28

输出图片：

http://blog.csdn.net/google19890102/article/details/45867789

http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/44664941 http://www.codelast.com/原创用人话解释不精确线搜索中的armijo-goldstein准则及wo/