在前面的文章记录了二元随机变量的定义、离散型二元随机变量的联合分布律/联合概率密度函数、边际分布律/边际概率密度函数、条件分布律/条件概率密度 ，以及对应的 联合分布函数、边际分布函数、条件分布函数。这篇文档介绍二元随机变量函数的分布。 二元随机变量函数的分布=二元随机变量函数的函数=g(X,Y)的分布。
二元离散型随机变量函数的分布 设二元离散型随机变量(X,Y)具有概率分布律 P(X=xi,Y=yj),i,j=1,2,3... 。 (1)如果 U=g(X,Y)，则U的分布律是什么？ 。 (2)如果 U=g(X,Y),V=v(X,Y) 则(U,V)的分布律是什么？ 对于(1)，先确定U的取值 ui,i=1,2... ，接着找到 (U=Ui)=(X,Y)∈D ，从而计算分布律。 对于(2)，先确定(U,V)的取值 (ui,vj) i,j=1,2,3... ，接着找到 (U=ui,V=vj)=(X,Y)∈D ，从而计算分布律。
二元连续型随机变量函数的分布 设二元连续型随机变量(X,Y)具有概率分布函数 f(x,y) ，Z是X,Y的函数， Z=g(X,Y) 。 (1)Z的分布函数 (2)Z的概率密度函数 对于(1)， FZ(z)=P(Z≤z)=P(g(X,Y)≤z)=∫∫g(X,Y)≤zf(x,y)dxdy 对于(2)， fZ(z)=F′Z(z)
Z=X+Y的分布 设(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)，则Z=X+Y的分布函数为 FZ(z)=∫∫x+y≤zf(x,y)dxdy ，进一步计算得到 fZ(z)=∫+∞−∞f(z−y,y)dy ，或者 fZ(z)=∫+∞−∞f(x,z−z)dx 。这两个公式称为 fX , fY 的卷积公式。 连续型随机变量中 正态分布：n个独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布。
均匀分布： 指数分布： Γ 分布。如果 X1,X2,...Xn 相互独立，切 Xi 服从参数为 αi,β(i=1,2,3....n) 的 Γ 分布，则 ∑ni=1Xi ，服从参数为 ∑ni=1αi,β 的 Γ 分布。这一性质称为 Γ 分布的可加性。 离散型随机变量中 二项分布：如果 X1,X2,...Xn 相互独立，且都服从B(n,p)，则 X1+X2+...+Xn ~B(n,p)。如果X~B( n1 ,p),Y~B( n2 ,p)，两者相互独立，则X+Y~ B(n1+n2,p) 。 泊松分布：如果X~ π(λ1) ，Y~ π(λ2) ，两者相互独立，则X+Y~ π(λ1+λ2) 。
max(X,Y)的分布 如果X,Y是两个相互独立的随机变量，它们的函数分布分为为 FX(x) ， FY(y) ，则 Fmax(z)=FX(z)FY(z) 。 可以扩展到n个相互独立的随机变量。 min(X,Y)的分布 如果X,Y是两个相互独立的随机变量，它们的函数分布分为为 FX(x) ， FY(y) ，则 Fmin(z)=1−(1−FX(z))(1−FY(z)) 。可以扩展到n个相互独立的随机变量。
