猜测多项式

在知乎上看到这样一个问题,非常有趣,记录下来:

假设现在有一个黑盒子,里面有一个多项式,每一个多项式都是正整数,我们每次往这个黑盒子里面输入一个正整数x,它就会返回一个带入x的结果，那么请问输入几次可以得到所有多项式系数呢?

开始我是没有做出来的,我尝试带入1和-1,0之类的数然后看能不能建立方程组消元。结果当然失败了。但是我看到了一个提示:答案是2次。那意味着这道题目绝对有很巧妙的解法,使得两次获取的信息就足以解答,我突然灵光一闪发现一种方法:如果把多项式看成一个M进制,那么我们就可以直接通过除M取余来解决了。所以关键是它应该是几进制?我们输入1得到M,那么显然任意系数小于等于M,那么可以看成是M+1,M+2…（大于M的任意进制）的数！所以我们就在输入一个M+1就可以解决了！

这个解答非常巧妙,我平常很可能做不出来,但是昨天灵感一闪就做出来了。。。。希望平时能保持这样的感觉就好了~~~~