一阶矩+二阶矩估计求解一个参数

一阶矩+二阶矩估计求解一个参数

@(概率论)

一般来说，一个参数对应一个方程。所以在矩估计法中，用一阶矩就可以求解一元。但是有些情况下，只写一阶矩，原理上是可以求得解的，但是，初等代数中很难剥离出来，可以考虑再求一次二阶矩，即，再利用样本提供一组值，二者相互作用，可以求解出p.

值得注意的是，二者求得的实际解并不是完全一致，因为又一次用了矩估计，所以等于两次估计求解一元。这是可以接受的，因为如果是二元，我们也会求两次，不会说因为多了一次估计，就少了很多精度。

看一个例子。

设 X1,X2,...,Xn 是来自对数级数分布 P(X=k)=−pkln(1−p)k,(0<p<1,k=0,1,2,...) 的一个样本，求p的矩估计。

分析：这是问的非常直接的题目。上来就可以列式：

EX=∑k=1∞kP(X=k)=∑k=1∞−kpkln(1−p)k=−1ln(1−p)∑k=1∞pk=−1ln(1−p)⋅p1−p

令 EX=1n∑ni=1Xi

很难从中抽出p的表达式。

而且还不能就写p就在这个表达式的关系中。

那么，可以考虑引入二阶矩。

EX2=∑k=1∞k2P(X=k)=∑k=1∞−k2pkln(1−p)k=−1ln(1−p)∑k=1∞kpk=−1ln(1−p)⋅p(1−p)2

令 EX2=1n∑ni=1X2i

二式相除:

p̂ =1−X⎯⎯1n∑ni=1X2i

即为所求。也就是用样本的一阶矩和二阶矩构造了一元参数的估计量。这种思路是很值得借鉴的。