【51nod1239】 欧拉函数之和

Description

对正整数n，欧拉函数是小于或等于n的数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为Euler’s totient function、φ函数、欧拉商数等。例如：φ(8) = 4（Phi(8) = 4），因为1,3,5,7均和8互质。 S(n) = Phi(1) + Phi(2) + …… Phi(n)，给出n，求S(n)，例如：n = 5，S(n) = 1 + 1 + 2 + 2 + 4 = 10，定义Phi(1) = 1。由于结果很大，输出Mod 1000000007的结果。

Solution

这道题本来是不会的，问了一下欧拉函数的性质，石化……

n=∑d|nϕ(d) 然后这道题就好解了。 f(n)=∑i=1nϕ(i)=∑i=1n∑d|iϕ(i)−∑i=1n∑d|i,d<iϕ(i) 好像一句废话…… f(n)=∑i=1n∑d|iϕ(i)−∑i=1n∑d|i,d<iϕ(i)=n∗(n+1)2−∑i=1n∑d|i,d<iϕ(i) 设T=id，因为要满足d|i,d<i，所以T>1且为整数 f(n)=n∗(n+1)2−∑T=2n∑d=1n/Tϕ(⌊nd⌋)=n∗(n+1)2−∑T=2nf(⌊nd⌋) 最后分块一下，用哈希表判重就好了。但是，这还是不行，我们还要预处理一下前10^6的答案，这样就解决了。 有另外一道题和这很像 51nod 1244 莫比乌斯函数之和

Code

#include<iostream> #include<math.h> #include<string.h> #include<stdio.h> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const ll maxn=1e7+5,mo=1e9+7,mo2=5e8+4,maxn1=1e6+5; int f[maxn],bz[maxn1+5],d[maxn1],p[maxn+5]; ll h[maxn],n,i,t,j,k,l,x,y,z,ans; int hash(ll x){ ll t=x%maxn; while (h[t]&& h[t]!=x) t=(t+1)%maxn; return t; } int dg(ll n){ if (n<=maxn1) return p[n]; ll t,i=2,x=n%mo,k=x*(x+1)%mo*mo2%mo,l=hash(n); if (h[l]) return f[l]; while (i<=n){ t=n/(n/i); k=k-(t-i+1)*dg(n/i)%mo;i=t+1; } k=(k%mo+mo)%mo; h[l]=n;f[l]=k;return k; } int main(){ //freopen("data.in","r",stdin); p[1]=1; for (i=2;i<=maxn1;i++){ if (!bz[i]) d[++d[0]]=i,p[i]=i-1; for (j=1;j<=d[0];j++){ if (i*d[j]>maxn1) break; bz[i*d[j]]=1; if (i%d[j]==0){ p[i*d[j]]=p[i]*d[j];break; }p[i*d[j]]=p[i]*p[d[j]]; } } for (i=1;i<=maxn1;i++) p[i]=(p[i]+p[i-1])%mo; scanf("%lld",&n); ans=dg(n); printf("%lld\n",ans); }