PTA 哥尼斯堡的“七桥问题”（欧拉回路）

哥尼斯堡是位于普累格河上的一座城市，它包含两个岛屿及连接它们的七座桥，如下图所示。

可否走过这样的七座桥，而且每桥只走过一次？瑞士数学家欧拉(Leonhard Euler，1707—1783)最终解决了这个问题，并由此创立了拓扑学。

这个问题如今可以描述为判断欧拉回路是否存在的问题。欧拉回路是指不令笔离开纸面，可画过图中每条边仅一次，且可以回到起点的一条回路。现给定一个无向图，问是否存在欧拉回路？

输入格式:

输入第一行给出两个正整数，分别是节点数$N$ ($1\le N\le 1000$)和边数$M$；随后的$M$行对应$M$条边，每行给出一对正整数，分别是该条边直接连通的两个节点的编号（节点从1到$N$编号）。

输出格式:

若欧拉回路存在则输出1，否则输出0。

输入样例1:

6 10 1 2 2 3 3 1 4 5 5 6 6 4 1 4 1 6 3 4 3 6

输出样例1:

1

输入样例2:

5 8 1 2 1 3 2 3 2 4 2 5 5 3 5 4 3 4

输出样例2:

0

解题思路：

图中存在这样一条路径，使得它恰通过图中每条边一次,则称该路径为欧拉路径。若该路径是一个圈，则称为欧拉回路

判断欧拉路是否存在的方法：

有向图：图连通，有一个顶点出度大入度1，有一个顶点入度大出度1，其余都是出度=入度。

无向图：图连通，只有两个顶点是奇数度，其余都是偶数度的。

判断欧拉回路是否存在的方法：

有向图：图连通，所有的顶点出度=入度。

无向图：图连通，所有顶点都是偶数度。

#include <iostream> #include <cstdio> #include <string> #include <cstring> #include <algorithm> #include <cmath> #include <queue> #include <vector> #include <set> #include <stack> #include <map> #include <climits> using namespace std; #define LL long long const int INF=0x3f3f3f3f; int f[1005],visit[1005]; int n,m; int Find(int x) { return f[x]==x?x:f[x]=Find(f[x]); } int main() { while(~scanf("%d %d",&n,&m)) { if(n==1) {printf("1\n");continue;} int s,e,flag=1; for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=i,visit[i]=0; for(int i=1;i<=m;i++) { scanf("%d %d",&s,&e); int ss=Find(s); int ee=Find(e); if(ss!=ee) f[ss]=ee; visit[s]++; visit[e]++; } int cnt=0; for(int i=1;i<=n;i++) if(f[i]==i) cnt++; if(cnt>1) flag=0; for(int i=1;i<=n;i++) if(visit[i]%2) flag=0; if(flag) printf("1\n"); else printf("0\n"); } return 0; }