理解Markov平稳条件

看到西瓜书的近似推断的地方，蹦出来一个马尔可夫平稳条件, p(xt)T(xt−1|xt)=p(xt−1)T(xt|xt−1) ,看到这着实蒙了一会，之后查找一些资料后，终于搞明白这个公式是怎么来的了。

Markov Chain

马尔可夫链是由一个条件分布表示的 P(Xt+1|Xt) ,这个公式也被称为转移概率。 P(Xt) 表示当前时间X的概率分布。有 P(Xt+1)=∫P(Xt+1|Xt)P(Xt)dXt 。当 P(Xt+1=a)=P(Xt=a) ∀a∈X 时，我们称为平稳状态。

Marcov平稳条件

为了简单，我们假设X只有两种取值a，b，当到达平稳状态时， [ Pt+1(a),Pt+1(b) ] = [ Pt(a),Pt(b) ].即：

pt(a),pt(b) * Pa|aPa|bPb|aPb|b

=

[pt+1(a),pt+1(b)]

pt+1(a)=pt(a)Pa|a+pt(b)Pa|bpt+1(b)=pt(a)Pb|a+pt(a)Pb|b 因为 pt+1(a)=pt(a),pt+1(b)=pt(b) ,所以 p(a)(1−Pa|a)=p(b)Pa|bp(a)Pb|a=p(b)Pa|b 得证。

参考： 马尔可夫链