证明异面直线的几种方法
范文哲
异面直线在立体几何中占有重要地位，很多同学在证明两条直线是异面直线时往往只证不共面的一面，或只证无公共点的一面，这样的证明是不全面的，必须根据异面直线的定义，证明这两条直线无公共点，同时不在任何一个平面内，这样才算完整。在这里讲几种常用的方法，供同学们学习。
一. “判定定理”法
判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。
例1. 如图1，空间四边形ABCD，，AE是的边BC上的高，DF是的边BC上的中线，求证：AE和DF是异面直线。
图1
证明：由题设条件可知点E、F不重合，设所在的平面为。因为，所以AE和DF是异面直线。
二. 反证法
例2. 已知a//b//c，且a，b，c不在同一平面内，A、B，求证：AD与BC是异面直线。
证明：因为a//b，所以a，b确定平面。又A，Ba，Cb，所以A、B、C不共线，且A，B，Cα。假设AD与BC共面，则，而，c//a，，从而，此与a，b，c不在同一平面内矛盾，故AD与BC是异面直线。
三. 排除法
例3. 如图2，已知，求证：a，b是异面直线。
图2
证明：（1）因为，所以b与只有一个公共点。
而，
故a与b无公共点。
（2）上只有一个点在平面内，其他点都在平面内，不在内，上的点都在平面内，又故a，b不在同一平面内。
综合（1）（2）可知，a，b是异面直线。
年级
高中
学科
数学
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证明异面直线的几种方法
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G.622.46
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辅导与自学
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证明异面直线的几种方法
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