1. 定义

    对称阵和反对称阵均：必为方阵

    1）对称阵（Symmetric）：

    2）反对称阵（Skew Symmetric Matrix）：

     3）正定对称矩阵（Positive-Definite Symmetric Matrix ）：实对称矩阵的所有的实特征值为正。

2. 特性

2.1 3x3反对称矩阵up to scale

    3x3反对称矩阵的一个奇怪属性是：up to scale.

     

2.2 正定对称矩阵

   1）对任意非0向量x，则有：

   2）它有唯一的分解：  (K为上三角实矩阵，且对角元素为正)，这就是柯列斯基分解(Cholesky factorization)。

　　证明如下：

        

　　D、E：是对角阵，U是正交阵，E的对角元素是D对应对角元素的平方根；V不是上三角阵，则进行RQ分解：

        

　　K是上三角矩阵，Q是旋转矩阵（正交阵）

    

3. 应用

3.1 特征值分解(Eigenvalue Decomposition)

    1）对称矩阵分解： 如果A是实对称矩阵，则A可被分解为：，U是一个正交矩阵，D是一个实对角矩阵(real  diagonal matrix)；

         则此实对称阵有实特征值（Eigen Values），且其特征向量(Eigen Vectors)是正交的。  

    2）反对称矩阵分解： 如果S是实反对称矩阵，则S可被分解为：，B是块对角矩阵（block-diagonal matrix），其形式如下：

         

         注：S的特征向量是纯虚的，奇阶的反对称矩阵是奇异的（Singular）。

3.2 叉乘（Cross Products）

3.2.1 向量与反对称矩阵的相互表示

       设a是一个三维向量：

        与向量a对应的反对称矩阵为：

           

        注：任何3x3反对称矩阵可以写为，a为其对应的向量，矩阵奇异矩阵（Singular Matrix）

3.2.2 向量的叉乘定义

        向量的叉乘：Cross Product 或Vector Product

          

       反对称矩阵可以替换向量叉乘中的一个向量，其表示如下：

               

3.3 代数余子式和伴随矩阵(Cofactor and adjoint matrices)

       1）设M是方阵，则M*是M的代数余子式(Cofactors)矩阵，且，是M去掉第i行和第j列生成的矩阵。

       2）伴随矩阵（Adjoint Matrix）定义为：

       3）若M可逆，则：是M的逆的转置 (the inverse transpose of M)

       4）无论M是否可逆，则有：

       5）若M是3x3矩阵（无论是否可逆），x和y是列向量，则有：

                 上式也可写为：

       6）对于上式，设t=Mx，且M可逆（非奇异矩阵non-singular matrix），则有：

             （up to scale）

           上式类似于基本矩阵（Fundamental Matrix）中的P’，基本矩阵与一对摄像机矩阵（如下）相对应，所以它可用于推导出“基本矩阵”

           

       7）若是一个基本矩阵（一个3x3的奇异矩阵<非可逆>），则有，因此F可以分解为：