欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个正整数a，b的最大公约数。
定理:两个整数的最大公约数等于其中较小的那个数和两个数相除余数的最大公约数。
gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
上述表达式中a>b。限制gcd(a,b) = gcd(|a| , |b|),也就是对非负整数进行了讨论。
证明方法： （百度百科：a可以表示成a = kb + r（a，b，k，r皆为正整数），则r = a mod b 假设d是a,b的一个公约数，记作d|a,d|b，即a和b都可以被d整除。 而r = a - kb，两边同时除以d，r/d=a/d-kb/d=m，等式左边可知m为整数，因此d|r 因此d也是（b,a mod b）的公约数 因此（a,b）和（b,a mod b）的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。） 上面的证明方法是没有多大依据的，最后一句中丝毫没有什么说服力。
下面给出欧几里德的正确性推理：
a = kb + r（a,b,k,r均为正整数，且a>b） r = a mod b 假设d是a，b的一个公约数，记做d = gcd(a,b) 即 d|a , d|b r = a - kb r/d = a/d - kb/d 即 d|r ,因此可以得知 d 是 （a，b，r）的公约数 （命题逻辑推理）d|a且d|b可以推出d|b且q|r，设A是（a，b）的公约数集，B是（b，r）的公约数集，C是（a，r）的公约数集，则有A⊆B（集合论）且A⊆C。
只需证明B⊆A和C⊆A即可
假设e是b，r的一个公约数 即 e|b , e|r a = kb + r a/e = kb/e + r/e 即e|a，e是（a，b，r）的一个公约数 同上 B⊆A
根据上面的证明得知A=B，所以可以进行最大公约数的递归，即gcd（a，b） = gcd（b ， a mod b）。 因为b存在一个系数，所以无法证明C⊆A。
欧几里德算法的正确性： 定义：gcd（a，0） = a； 在递归调用的过程中第二个参数的值单调递减且始终非负，因此仅存在有限递归。
欧几里德算法的时间分析： 欧几里德算法和斐波那契数列有着密切的关联。 （未完待续）
