问题描述：一个给定序列的子序列是在该序列中删去若干元素后得到的序列。确切地说，若给定序列X= { x1, x2,…, xm}，则另一序列Z= {z1, z2,…, zk}是X的子序列是指存在一个严格递增的下标序列 {i1, i2,…, ik}，使得对于所有j=1,2,…,k有 Xij=Zj。例如，序列Z={B,C,D,B}是序列X={A,B,C,B,D,A,B}的子序列，相应的递增下标序列为{2,3,5,7}。给定两个序列X和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时，称Z是序列X和Y的公共子序列。例如，若X= { A, B, C, B, D, A, B}和Y= {B, D, C, A, B, A}，则序列{B,C,A}是X和Y的一个公共子序列，序列{B,C,B,A}也是X和Y的一个公共子序列。而且，后者是X和Y的一个最长公共子序列，因为X和Y没有长度大于4的公共子序列。给定两个序列X= {x1, x2, …, xm}和Y= {y1, y2, … , yn}，要求找出X和Y的一个最长公共子序列。
问题解析：设X= { A, B, C, B, D, A, B},Y= {B, D, C, A, B, A}。求X，Y的最长公共子序列最容易想到的方法是穷举法。对X的多有子序列，检查它是否也是Y的子序列，从而确定它是否为X和Y的公共子序列。由集合的性质知，元素为m的集合共有2^m个不同子序列，因此，穷举法需要指数级别的运算时间。进一步分解问题特性，最长公共子序列问题实际上具有最优子结构性质。
设序列X={x1,x2,……xm}和Y={y1,y2,……yn}的最长公共子序列为Z={z1,z2,……zk}。则有：
(1)若xm=yn,则zk=xm=yn,且zk-1是Xm-1和Yn-1的最长公共子序列。
(2)若xm!=yn且zk!=xm，则Z是Xm-1和Y的最长公共子序列。
(3)若xm!=yn且zk!=yn，则Z是X和Yn-1的最长公共子序列。
其中，Xm-1={x1,x2……xm-1}，Yn-1={y1,y2……yn-1},Zk-1={z1,z2……zk-1}。
递推关系：用c[i][j]记录序列Xi和Yj的最长公共子序列的长度。其中，Xi={x1,x2……xi}，Yj={y1,y2……yj}。当i=0或j=0时，空序列是xi和yj的最长公共子序列。此时，c[i][j]=0；当i,j>0，xi=yj时，c[i][j]=c[i-1][j-1]+1；当i,j>0，xi!=yj时，
c[i][j]=max{c[i][j-1],c[i-1][j]}，由此建立递推关系如下：
构造最优解：由以上分析可知，要找出X={x1,x2,……xm}和Y={y1,y2,……yn}的最长公共子序列,可以按一下方式递归进行：当xm=yn时，找出xm-1和yn-1的最长公共子序列，然后在尾部加上xm(=yn)即可得X和Y的最长公共子序列。当Xm!=Yn时，必须解两个子问题，即找出Xm-1和Y的一个最长公共子序列及X和Yn-1的一个最长公共子序列。这两个公共子序列中较长者为X和Y的最长公共子序列。设数组b[i][j]记录c[i][j]的值由哪一个子问题的解得到的，从b[m][n]开始，依其值在数组b中搜索，当b[i][j]=1时，表示Xi和Yj的最长公共子序列是由Xi-1和Yj-1的最长公共子序列在尾部加上xi所得到的子序列。当b[i][j]=2时，表示Xi和Yj的最长公共子序列与Xi-1和Yj-1的最长公共子序列相同。当b[i][j]=3时，表示Xi和Yj的最长公共子序列与Xi和Yj-1的最长公共子序列相同。
代码如下：
[cpp] view plain copy //3d3-1 最长公共子序列问题 #include "stdafx.h" #include <iostream> using namespace std; const int M = 7; const int N = 6; void output(char *s,int n); void LCSLength(int m,int n,char *x,char *y,int **c,int **b); void LCS(int i,int j,char *x,int **b); int main() { //X={A,B,C,B,D,A,B} //Y={B,D,C,A,B,A} char x[] = {' ','A','B','C','B','D','A','B'}; char y[] = {' ','B','D','C','A','B','A'}; int **c = new int *[M+1]; int **b = new int *[M+1]; for(int i=0;i<=M;i++) { c[i] = new int[N+1]; b[i] = new int[N+1]; } cout<<"序列X："<<endl; output(x,M); cout<<"序列Y："<<endl; output(y,N); LCSLength(M,N,x,y,c,b); cout<<"序列X、Y最长公共子序列长度为："<<c[M][N]<<endl; cout<<"序列X、Y最长公共子序列为："<<endl; LCS(M,N,x,b); cout<<endl; } void output(char *s,int n) { for(int i=1; i<=n; i++) { cout<<s[i]<<" "; } cout<<endl; } void LCSLength(int m,int n,char *x,char *y,int **c,int **b) { int i,j; for(i=1; i<=m; i++) c[i][0] = 0; for(i=1; i<=n; i++) c[0][i] = 0; for(i=1; i<=m; i++) { for(j=1; j<=n; j++) { if(x[i]==y[j]) { c[i][j]=c[i-1][j-1]+1; b[i][j]=1; } else if(c[i-1][j]>=c[i][j-1]) { c[i][j]=c[i-1][j]; b[i][j]=2; } else { c[i][j]=c[i][j-1]; b[i][j]=3; } } } } void LCS(int i,int j,char *x,int **b) { if(i==0 || j==0) { return; } if(b[i][j]==1) { LCS(i-1,j-1,x,b); cout<<x[i]<<" "; } else if(b[i][j]==2) { LCS(i-1,j,x,b); } else { LCS(i,j-1,x,b); } }LCSLength函数在计算最优值时，分别迭代X，Y构造数组b,c。设数组每个元素单元计算耗费时间O(1)，则易得算法LCSLength的时间复杂度为O(mn)。在算法LCS中，依据数组b的值回溯构造最优解，每一次递归调用使i，或j减小1。从而算法的计算时间为O(m+n)。LCS的回溯构造最优解过程如下图所示:
算法的改进：对于一个具体问题，按照一般的算法设计策略设计出的算法，往往在算法的时间和空间需求上还可以改进。这种改进，通常是利用具体问题的一些特殊性。例如，在算法LCS_length和LCS中，可进一步将数组b省去。事实上，数组元素c[i,j]的值仅由c[i-1][j-1]，c[i-1][j]和c[i][j-1]三个值之一确定，而数组元素b[i][j]也只是用来指示c[i][j]究竟由哪个值确定。因此，在算法LCS中，我们可以不借助于数组b而借助于数组c本身临时判断c[i][j]的值是由c[i-1][j-1]，c[i-1][j]和c[i][j-1]中哪一个数值元素所确定，代价是Ο(1)时间。既然b对于算法LCS不是必要的，那么算法LCS_length便不必保存它。这一来，可节省θ(mn)的空间，而LCS_length和LCS所需要的时间分别仍然是Ο(mn)和Ο(m+n)。另外，如果只需要计算最长公共子序列的长度，则算法的空间需求还可大大减少。事实上，在计算c[i][j]时，只用到数组c的第i行和第i-1行。因此，只要用2行的数组空间就可以计算出最长公共子序列的长度。更进一步的分析还可将空间需求减至min(m, n)。
[cpp] view plain copy //3d3-2 最长公共子序列问题 #include "stdafx.h" #include <iostream> using namespace std; const int M = 7; const int N = 6; void output(char *s,int n); void LCSLength(int m,int n,char *x,char *y,int **c); void LCS(int i,int j,char *x,int **c); int main() { //X={A,B,C,B,D,A,B} //Y={B,D,C,A,B,A} char x[] = {' ','A','B','C','B','D','A','B'}; char y[] = {' ','B','D','C','A','B','A'}; int **c = new int *[M+1]; for(int i=0;i<=M;i++) { c[i] = new int[N+1]; } cout<<"序列X："<<endl; output(x,M); cout<<"序列Y："<<endl; output(y,N); LCSLength(M,N,x,y,c); cout<<"序列X、Y最长公共子序列长度为："<<c[M][N]<<endl; cout<<"序列X、Y最长公共子序列为："<<endl; LCS(M,N,x,c); cout<<endl; } void output(char *s,int n) { for(int i=1; i<=n; i++) { cout<<s[i]<<" "; } cout<<endl; } void LCSLength(int m,int n,char *x,char *y,int **c) { int i,j; for(i=1; i<=m; i++) c[i][0] = 0; for(i=1; i<=n; i++) c[0][i] = 0; for(i=1; i<=m; i++) { for(j=1; j<=n; j++) { if(x[i]==y[j]) { c[i][j]=c[i-1][j-1]+1; } else if(c[i-1][j]>=c[i][j-1]) { c[i][j]=c[i-1][j]; } else { c[i][j]=c[i][j-1]; } } } } void LCS(int i,int j,char *x,int **c) { if(i==0 || j==0) { return; } if(c[i][j]==c[i-1][j-1]+1) { LCS(i-1,j-1,x,c); cout<<x[i]<<" "; } else if(c[i-1][j]>=c[i][j-1]) { LCS(i-1,j,x,c); } else { LCS(i,j-1,x,c); } }运行结果如下：
从运行结果中可以看出，算法LCS回溯算法仅仅打印了其中一条最大公共子序列，如果存在多条公共子序列的情况下。怎么解决？对b[i][j]二维数组的取值添加一种可能，等于4，这代表了我们说的这种多支情况，那么回溯的时候可以根据这个信息打印更多可能的选择。你从（7,6)点开始按b[i][j]的值指示的方向回溯，把所有的路径遍历一遍，如果是能达到起点（1,1)的路径，就是LCS了，有多少条打印多少条。可是，在回溯路径的时候，如果采用一般的全搜索，会进行了很多无用功。即重复了很多，且会遍历了一些无效路径，因为这些路径最终不会到达终点(1,1)，因此加大算法复杂度和时间消耗。
博文《求所有最大公共子序列的算法实现》给出了一种"矩行搜索"的解决办法降低了算法的复杂度。算法主要是利用两个栈store,print，一个用来储存节点，一个用来打印节点。
栈的实现代码如下(文件Stack.h)：
[cpp] view plain copy /** 头文件------head file */ template <class T> class StackNode{ public: T data; StackNode *next; }; template <class T> class Stack{ public: Stack(void):top(NULL){} bool IsEmpty(void) const{ return top==NULL;} void Push(const T data); bool Pop(T *data); bool Peek(T *data) const; StackNode<T> * GetStackNode(); private: StackNode<T> *top; }; template <class T> StackNode<T> * Stack<T>::GetStackNode(){ return top; } template <class T> void Stack<T>::Push(const T data){ StackNode<T> *node = new StackNode<T>(); node->data = data; node->next = top; top = node; } template <class T> bool Stack<T>::Peek(T *data) const{ if(IsEmpty()) return false; *data = top->data; return true; } template <class T> bool Stack<T>::Pop(T *data){ if(IsEmpty()) return false; *data = top->data; StackNode<T> *node = top; top = top->next; delete(node); return true; }所有最长公共子序列问题LCS 矩阵搜索代码如下：
[cpp] view plain copy //3d3-3 所有最长公共子序列问题LCS 矩阵搜索 #include "stdafx.h" #include "stack.h" #include <iostream> using namespace std; typedef int **Matrix; const int M = 7; const int N = 6; typedef struct _Element { int lcslen;//当前节点的LCS长度 int row;//当前节点的行坐标 int col;//当前节点的列坐标 }Element; void output(char *s,int n); Element CreateElement(int nlen, int row, int col); Matrix GreateMatrix(int row, int col); void DeleteMatrix(Matrix p, int row); void PrintStack(Stack<Element> *ps, char *str, int len); void SearchE(Matrix pb, int curposx, int curposy, int &eposx, int &eposy, int ntype); void LCSLength(int m,int n,char *x,char *y,Matrix pc,Matrix pb); void LCS(char *x, Matrix pc, Matrix pb, int row, int col);//矩阵搜索回溯 int main(){ char x[] = {' ','A','B','C','B','D','A','B'}; char y[] = {' ','B','D','C','A','B','A'}; Matrix b = GreateMatrix(M, N); Matrix c = GreateMatrix(M, N); LCSLength(M,N,x,y,c,b); cout<<"序列X："<<endl; output(x,M); cout<<"序列Y："<<endl; output(y,N); cout<<"序列X、Y最长公共子序列长度为："<<c[M][N]<<endl; cout<<"序列X、Y最长公共子序列为："<<endl; LCS(x,c,b,M,N); DeleteMatrix(b,M); DeleteMatrix(c,M); return 0; } void output(char *s,int n) { for(int i=1; i<=n; i++) { cout<<s[i]<<" "; } cout<<endl; } Element CreateElement(int nlen, int row, int col) { Element ele; ele.lcslen = nlen; ele.col = col; ele.row = row; return ele; } Matrix GreateMatrix(int row, int col) { Matrix p = new int *[row+1]; for(int i=0;i<=row;i++) { p[i] = new int[col+1]; } return p; } void DeleteMatrix(Matrix p, int row) { for(int i=0;i<=row;i++) { delete []p[i]; } delete []p; } void PrintStack(Stack<Element> *s,char *str,int len) { if(s == NULL || str == NULL) return; StackNode<Element> *sn = s->GetStackNode(); while(sn!=NULL && sn->data.row<=len) { cout<<str[sn->data.row]<<" "; sn = sn->next; } cout<<endl; } void SearchE(Matrix pb, int curposx, int curposy, int &eposx, int &eposy, int ntype) { switch(pb[curposx][curposy]) { case 1: eposx = curposx; eposy = curposy; return; case 2: SearchE(pb, curposx-1, curposy, eposx, eposy, ntype); break; case 3: SearchE(pb, curposx, curposy-1, eposx, eposy, ntype); break; case 4: if(ntype == 0) //搜索e1点，如过碰到分叉点，向上继续搜索 SearchE(pb, curposx-1, curposy, eposx, eposy, ntype); else //搜索e2点，如过碰到分叉点，向左继续搜索 SearchE(pb, curposx, curposy-1, eposx, eposy, ntype); break; } } void LCSLength(int m,int n,char *x,char *y,Matrix pc,Matrix pb) { int i,j; for(i=1; i<=m; i++) pc[i][0] = 0; for(i=1; i<=n; i++) pc[0][i] = 0; for(i=1; i<=m; i++) { for(j=1; j<=n; j++) { if(x[i]==y[j]) { pc[i][j]=pc[i-1][j-1]+1; pb[i][j]=1; } else if(pc[i-1][j]>pc[i][j-1]) { pc[i][j]=pc[i-1][j]; pb[i][j]=2; } else if(pc[i-1][j]<pc[i][j-1]) { pc[i][j]=pc[i][j-1]; pb[i][j]=3; } else { pc[i][j] = pc[i][j-1];//由左节点或上节点转移而来 pb[i][j] = 4;//标记为4 } } } } void LCS(char *x, Matrix pc, Matrix pb, int row, int col) { if(x == NULL || pc == NULL || pb == NULL) return; Stack<Element> store, print;//构造两个栈store，print Element storetop;//store栈的栈顶节点 Element element;//临时变量 Element virtualnode;//虚拟节点 int ntoplen;//保存store栈顶节点的LCS长度 int ex1,ey1,ex2,ey2;//矩形搜索的两个节点的坐标 int i,j; virtualnode = CreateElement(pc[row][col]+1, row+1, col+1); store.Push(virtualnode);//压入虚拟节点到store while(!store.IsEmpty()) { store.Pop(&storetop); if(storetop.row == 1 || storetop.col == 1)//如果是边界节点 { print.Push(storetop); PrintStack(&print, x, row);//打印print栈里面除虚拟节点之外的所有节点 store.Peek(&element); ntoplen = element.lcslen;//当前store的栈顶节点的LCS长度 /**********弹出print栈中所有LCS长度小于等于ntoplen的节点**************/ while(print.Peek(&element) && element.lcslen<=ntoplen) { print.Pop(&element); } } else { print.Push(storetop); SearchE(pb, storetop.row-1, storetop.col-1, ex1, ey1, 0); SearchE(pb, storetop.row-1, storetop.col-1, ex2, ey2, 1);/*also other value is ok*/ if(ex1 == ex2 && ey1 ==ey2) { element = CreateElement(pc[ex1][ey1], ex1, ey1); store.Push(element);//压入store栈，回到步骤2 } else { for(i=ex1; i<=ex2; i++) for(j=ey2; j<=ey1; j++) { if(pb[i][j] == 1) { element = CreateElement(pc[i][j], i, j); store.Push(element); } } } } } }矩形搜索LCS算法回溯路径如下：
算法LCS先构造了一个虚拟节点virtualnode，指向节点(m,n)的右下角，即(m+1,n+1),这个节点的LCS的长度假设为最大公共子序列长度+1。将虚拟节点压入栈store，然后从虚拟节点出发，当状态b[i][j]=4时，节点开始分叉，根据设置类型向上(ntype=0)、向左(ntype=1)矩形搜索查找导致公共子序列长度发生变化的节点(跳跃点)，即b[i][j]=1对应的节点压入store栈中，然后s判断store弹出元素是否已到达边界，如果没有到达，则将节点压入print栈中，如果到达边界，则打印print栈，输出其中一个最长公共序列。
运行结果如下：
